Question

求解实变函数问题

设F是R的子集，且为非空有界完备集，证明：存在R上连续函数f满足（1）0<=f<=1(任意t属于R) （2）f（t1）<f（t2）（任意t1<=t2） （3）{f（t）:t属于F}=[0,1]

Answer 1

如果 F 含区间，容易构造。下面设F不含区间。
设a = min(F), b=max(F)
[a,b] - F 是由可列个开区间构成。称此开区间集合为G
设G中最大的开区间为（a1,b1). 设 I0 =[a,a1], I1 = [b1,b]
然后，在I0中去掉G中最大区间，小的部分称为 I00， 大的部分称I01，
在I1中去掉G中最大区间，小的部分称为 I10， 大的部分称I11，
.。。。。。
任给 x属于F, x必然属于 一个 In1, In1n2,..., I(n1...ni),... 序列。
定义 f(x)= 对应的I序列的下标的如下序列的极限点。
0.n1,
0.n1n2,
...
0.n1...ni,
....
而上面的序列规定为[0,1]中实数的二进制表示序列，于是有极限。
构造如上， 对不在F上的点，f 定义的扩充是自然的。在G中的每个区间上都是常值。验证满足3个条件都比较直接。

Answer 2

你这是个什么题啊？