Question

不定积分怎么计算？

Answer 1

1、不定积分，indefinite integral，就是将积分中的一部分

     做一个代换，当成一个新的变量；

     换元法 = 变量代换法 = substitution

2、分部积分法，integral by parts

     是由积的求导法则推导出来的积分法，由先对一部分积分，

    然后对另一部分积分。

3、分别列举两例如下：

     （图片均可点击放大，放大后更加清晰）

下面的也是分部积分法：

Answer 2

例如：抛物线y^2=0.2x在点A(0.2,0.2)处法线围成区域面积的计算

• 主要内容：

本文通过定积分知识，介绍抛物线y^2=0.2x在点A(0.2,0.2)处法线围成区域面积的计算步骤。



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• 主要步骤：

∵y^2=0.2x，求导有

∴2ydy/dx=0.2，即dy/dx=0.2/2y,

在点A(0.2,0.2)处，有该点的切线的斜率k为：

k=dy/dx=0.2/(2*0.2)=1/2,

则该点处法线的斜率k1=-2,



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此时法线的方程为:

y-0.2=-2 (x-0.2)，

化简得y1=-2x+0.6,则x=(0.6-y)/ 2。

由法线和抛物线构成的方程组，求出二者的交点B,C.

y^2=0.2 (0.6-y)/ 2，即：

2y^2+0.2y-0.12=0，因式分解为：

(y-0.2)(y+0.3)=0.

所以y1=0.2，y2=-0.3.



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此时抛物线方程变形为x=1y^2/0.2,所围成的区域以dy为计算单位，则所求的面积S为：

S=∫[y2:y1][( 0.6-y)/ 2-y^2/0.2]dy

=∫[y2:y1]( 0.6/2-y/2-y^2/0.2)dy，积分有：

=(0.6y/2-y^2/2*2-y^3/0.6) [y2:y1]

=0.6/2*(0.2+0.3)- (0.2^2- 0.3^2)/4-1/0.6*(0.2^3+ 0.3^3)

=0.66+0.012-0.0583

=0.613.



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