数学分析 二重积分
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Cauchy－Schwartz不等式：
(积分(从a到b)h(x)g(x)dx)^2<=积分(从a到b)g^2(x)dx * 积分(从a到b)h^2(x)dx。
这里取h(x)＝f(x)/根号(t^2+x^2)，g(x)＝1/根号(t^2+x^2)，
积分(从0到1)g^2(x)dx＝积分(从0到1)dx/(t^2+x^2)
＝1/t*arctan(x/t)|上限1下限0
＝arctan(1/t)/t<=pi/(2t)。
因此不等式成立
(积分(从a到b)h(x)g(x)dx)^2<=积分(从a到b)g^2(x)dx * 积分(从a到b)h^2(x)dx。
这里取h(x)＝f(x)/根号(t^2+x^2)，g(x)＝1/根号(t^2+x^2)，
积分(从0到1)g^2(x)dx＝积分(从0到1)dx/(t^2+x^2)
＝1/t*arctan(x/t)|上限1下限0
＝arctan(1/t)/t<=pi/(2t)。
因此不等式成立
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上海蓝菲
2025-04-21 广告
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