Question

设f（x）的一个原函数为sinxx，则∫xf′（x）dx=______

Answer 1

若 f(x) 的一个原函数为 F(x) = sinx，则 f(x) = cosx,
∫xf′(x)dx = ∫xdf(x) = xf(x) - ∫f(x)dx = xcosx - sinx .
若 f(x) 的一个原函数为 F(x) = sinx · x = xsinx，则 f(x) = sinx+xcosx,
∫xf′(x)dx = ∫xdf(x) = xf(x) - ∫f(x)dx = xsinx+x^2cosx - sinx - xcosx
= x^2cosx + x(sinx-cosx) - sinx.

Answer 2

令F(x)=xf(x)
F'(x)=f(x)+xf'(x)
所以xf'(x)=F'(x)-f(x)
所以∫xf'(x)dx=∫[F'(x)-f(x)]dx
=∫F'(x)dx-∫f(x)dx
=F(x)-sinx/x+C
=xf(x)-sinx/x+C