Question

非负实数x,y,z满足x2+y2+z2=1.则f(x,y,z)=x+y+z-2xyz的最大值是___________.

Answer 1

由柯西不等式，(f(x,y,z))^2<=((x+y)^2+(1/2-xy)^2)(1+4z^2)=(1/4+x^2y^2+x^2+y^2)(1+4z^2)<=(1/4+((1-z^2)/2)^2+(1-z^2))(1-4z^2)<=2所以是根号2

Answer 2

根据均值不等式定理, 仅当x=y=z是上式取最大值, 得
x=y=z=1/√3
f(x,y,z)=x+y+z-2xyz的最大值为:
3/√3-2/(3√3)=√3-2√3/9=7√3/9

追问

感觉不大对

追答

哪里不对？

追问

x=y=zx=y=z时，xyz最小没错，但同时x+y+z最大吗

追答

对不起，我把题意给看错了，是非负实数，不是正实数。
需要考虑其中xyz项等于0的情况，这样的话：
设z=0，原式可简化为求：
f(x,y,z)=x+y的最大值的情况，这时再用均值不等式定理，当x=y时得最大值
则x=y=√(1/2), f(x,y,z)=x+y的最大值为
x+y=2/√2=√2