Question

一道高数证明题 ，急急急

试用拉格朗日中值定理证明，当n>1,0<a<b,不等式na^(n-1)*(b-a)<b^n-a^n<nb^(n-1)*(b-a)成立
写出过程 ，谢谢

Answer 1

证明：
设函数F（x）=x^n,由题设n>1,0<a<b及拉格朗日中值定理有
F（b）－F（a）=b^n－a^n=F'（c）(b-a); 其中a<c<b
F'（x）=nx^(n-1)
由n>1,易证F'（x）=nx^(n-1)单调上升
再由a<c<b，有F'（a）<F'（c）<F'（b）
F'（a）(b-a)<F'（c）(b-a)<F'（b）(b-a)
代入F'（x）=nx^(n-1)即证
na^(n-1)*(b-a)<b^n-a^n<nb^(n-1)*(b-a)