Question

一道美国高中数学竞赛题，帮帮忙

f(x)=x^3+x+1
g is a cubix polynomial such that g(0)=-1,
and the roots of g are the squares of the roots of f
Find g(9)
不要翻译！！要解答

Answer 1

“推荐答案”的观点是错误的。
错误的原因是没有理解：f(0)＝1，g(0)=－1。故有下面两点常识性错误。
错误（1）f(0)＝1，g(0)=－1。[f(0)]^2≠g(0)=－1。
但是： 0 不是方程的根，
何谓方程的根？即f(0)=0， g(0)=0
换言之：f(0)≠0， g(0)≠0是显然可以理解的。

正解：f(0)＝1，g(0) =－1是两个函数与y轴的交点。

错误（2）－1是g(0)的根 还是无法改变的。
又错！对于任一函数，g(x＝0)是用来求常数项的。
正解：－1是g(x)中常数项的值。

如此：“推荐答案”的解法就没有讨论的价值了。

给个思路：
既然知道： “the roots of g are the squares of the roots of f” 应该是“g的根是f根的平方”
那么就应该知道这是——：高次方程的“韦达定理”应用问题。
即：若α、β、γ是f(x)＝0的根，
那么α^2、β^2、γ^2是g(x) ＝0的根！
以下就是仿照初中“一元二次方程中韦达定理应用”的思路。

口头禅：
不要追问，追问也不回答！

我是忍不住提醒一下。

追问

哥们儿，给个答案行不

Answer 2

关键就是“the roots of g are the squares of the roots of f”
应该是“g的根是f根的平方” 但是既然g的根是平方的值就不会有负数啦啦啦啦。。。g(0)=-1

换做f的根是g根的平方
[ f(0)=1, 1=(-1)^2]貌似说的通

由问题得 X=9. 带入f(x),求X=9的F根
9*9*9+9+1=739
g(9)=根号的739=739^(1/2)

追问

题没有错 g的根是f根的平方
g 是 三次 多项式，说明g可以有常数项，因此当g中未知数为零的时候，g中的常数项就是-1了
我主要是想知道 g的根是f根的平方 这句话的意思

追答

按照你说的确实可以断定函数g的常熟项，但-1是g(0)的根 还是无法改变的
f根的平方 出现负数还是无法理解啊（难道我太嫩了 ）

Answer 3

由题意g(x)也为三次函数，可设g(x) ＝ax³+bx²+cx+d，
设α、β、γ是f(x)＝0的根，则α²、β²、γ²是g(x) ＝0的根。
由韦达定理，得α+β+γ=0，αβ+βγ+γα=1，αβγ= -1；
α²+β²+γ²= -b/a，α²β²+β²γ²+γ²α²=c/a，α²β²γ²= -d/a。
由g(0)=-1得d=-1，于是1/a=α²β²γ²=1，即a=1。
所以，-b = α²+β²+γ²=(α+β+γ)² - 2(αβ+βγ+γα) = -2，得b = 2；
c = α²β²+β²γ²+γ²α²=(αβ+βγ+γα)² - 2(αβ²γ+βγ²α+γα²β)= 1 - 2αβγ(α+β+γ) = 1；
故g(x) ＝x³+2x²+x-1，从而g(9)=773。

Answer 4

函数f（x）= x^ 3 + X +1
g是三次多项式G（0）=-1，
g的根是f根的平方,
g（9）

Answer 5

f(0)＝1，g(0) =－1是两个函数与y轴的交点。