Question

知道∑an是绝对收敛的幂级数，该怎么证明|∑an|小于等于∑|an| （n为下标 n趋向于无穷 | |表示绝对值）

知道∑an是绝对收敛的幂级数，该怎么证明|∑an|小于等于∑|an|
（n为下标 n趋向于无穷 | |表示绝对值）

Answer 1

这一步不是显然的嘛~
|∑an|=|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|=∑|an|
你想证的这一培则步，跟你的条件没有任何必要关系——并且我要说，∑an哪里是幂级数了？充其量就是∑an(x^n)的系数。∑an(x^n)才是幂级数！
任何实数ai都满足
|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|

如州兆果非要说细点，就是归纳法就搞定
当n=1时显然成立|a1|=|a1|。
当n=2时由|a1+a2|²≤(|a1|+|a2|)²可知，也显然成立；
假设n=k时成立，则有
|a1+a2+…+ak|≤|a1|+|a2|+…+|ak|
那么，n=k+1时
|a1+a2+…配迹棚+ak+a[k+1]|≤|a1+a2+…+ak|+|a[k+1]|≤|a1|+|a2|+…+|ak|+|a[k+1]|，也成立！
得证