Question

为什么这样求极限是错误的

这个极限的正确答案是1/2，但是发现也可以按照如图的方法运算，得到结果为0，这种方法错在哪里？

Answer 1

解答：

1、本题是0/0型的不定式，拆开之后，变成了两个无穷大之差，依然还是不定式；

2、拆开无可厚非，问题是不可以再做等阶无穷小代换计算，因为在第一个等号后的

    两个无穷大并不等于第二个等号后的无穷大；

3、一般而言，sinx<x<tanx，这可以由几何作图，明显看出。也就是说，tanx与sinx

   并不是严格的等阶无穷小。如果学过麦克劳林级数就知道了，sinx展开后的二阶

   无穷小系数是-1/6，而tanx展开后的二阶无穷小系数是1/3，正好相差1/2。

4、国内很多教授，肆意误导，把等阶无穷小代换炒到匪夷所思的程度，甚至要学生

   死记硬背，把活生生的学科炒得枯燥乏味。本题正好是一个反例，说明等阶代换是

   有限度的，不可以盲目使用。

5、一般来说，遇到相减时，一般都不适宜等阶无穷小代换。

 

下图用两种解法解答，点击放大：

Answer 2

解： sinx(1/cosx-1) sinx(1-cosx) sinx*(1-(1-2sin(x/2))^2)
lim------------------------=lim --------------------=lim --------------------------------
x→0 x^3 x→0 x^3*cosx x→0 x^3

2sinx*(sin(x/2))^2
lim ------------------------------=2/4=1/2
x→0 4*x*(x/2)^2

sinx
利用：lim ----------- lim cosx=1 及cosx=1-2(sin(x/2))^
x→0 x=1 x→0