Question

数学证明题 如图，已知△ADE全等于△ABC,且∠DAE=∠ABC,∠ACB=∠AED=90°，点E,A,C共线，BD的中点为M。。

如图，已知△ADE全等于△ABC,且∠DAE=∠ABC,∠ACB=∠AED=90°，点E,A,C共线，BD的中点为M，试判断△EMC形状，并说明理由。（提示连接AM或延长ED,CM)

Answer 1

由已知得：AD＝BA且∠ADE＝∠BAC，所以∠DAB＝90°，所以△ABD为等腰直角三角形，

又因为M为BD中点，所以AM⊥BD，因∠BMA＝∠BCA＝90°这样A、C、B、M四点共圆，

所以∠MCA＝∠MBA＝45°

同理∠MEA也为45°，所以△EMC为等腰直角三角形。

Answer 2

连接AM。
∵ΔABC≌ΔDAE，∴AD=AB，∠DAE=∠ABC，
∵∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠DAE+∠BAC=90°，
∴∠BAD=90°，∴ΔABD是等腰直角三角形，
∵M是斜边BD的中点，∴AM⊥BD，且AM=BM=DM。
∴∠CBM+∠CAM=180°，又∠EAM+∠CAM=180，
∴∠EAM=∠CBM，又AM=BM，AE=BC，
∴ΔAEM≌ΔBCM，
∴ME=MC，∠AME=∠BMC，
∵∠BMC+∠AMC=90°，∴∠AME+∠AMC=90°，即∠CME=90°，
∴ΔMCE是等腰直角三角形。