Question

验证下列不定积分∫根号(a^2-x^2)dx=x/2根号(a^2-x^2)+(a^2/2)arcsinx/a+c

Answer 1

对于此类题
一般可以直接对右式求导，得出左式；
也可以直接对左式积分；
现对左式积分：
∫√(a^2-x^2)dx
=a²∫√(1-﹙x/a﹚²)d﹙x/a﹚
令x/a=sint，﹙－π/2≦t≤π/2)，（三角换元积分）则
原式＝a²∫√﹙1－sin²t﹚dsint
＝a²∫cos²tdt（分部积分）
＝a²costsint＋a²∫sin²tdt
＝a²costsint＋a²t－a²∫cos²tdt
从而
有原式＝﹙a²costsint＋a²t﹚/2 + c
将x/a=sint带入，消去t，有
原式=x/2根号(a^2-x^2)+(a^2/2)arcsinx/a+c
在线等，欢迎追问

Answer 2

额