Question

求解一道数学题，越快越好，谢谢了！

直线l的解析式为y=3/4x+8 ，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是x轴上一点，以P为圆心的圆与直线l相切于B点。
（1）求点P的坐标及⊙P的半径R；
（2）若⊙P以每秒10/3 个单位沿x轴向左运动，同时⊙P的半径以每秒3/2 个单位变小，设⊙P的运动时间为t秒，且⊙P始终与直线l有交点，试求t的取值范围；
（3）在(2)中，设⊙P被直线l截得得弦长为a，问是否存在t的值，使a最大？若存在，求出t的值；
（4）在(2)中，设⊙P与直线l的一个交点为Q，使得△APQ与△ABO相似，请直接写出此时t的值。

Answer 1

1.相切半径与直线l是垂直的，所以其斜率应为-4/3，又过点B(0,8),所以相切半径所在直线方程为y-8=(-4/3)x，其与x轴的交点即为点P，令y=0，可得x=6，故P点坐标为(6,0),R=|PB|=10

2.P变为一动点，坐标为(6-10t/3，0),由于直线l是确定的,可变换为：3x-4y+32=0，则任意一点(x,y)到l的距离可写为D=|3x-4y+32|/(√3×3+4×4)=|3x-4y+32|/5,现将(x,y)换为(6-10t/3，0),可求出D=|18-10t+32|/5=|10-2t|
而现在半径R也在减小，R=10-3t/2
欲始终有交点，则
t〉=0；
R=10-3t/2〉0；
D〈=R；
解之得0〈=t〈=40/7

3.弦长设为L，(L/2)^2=R×R-D×D=9tt/4-30t+100-4tt+40t-100=-7tt/4+10t,可看出此抛物线开口向下，中心t坐标为-b/2a=20/7,此点t的范围0~40/7内，由于抛物线开口向下，故当t=20/7在抛物线中轴时，弦长达到最大值

4.要求△APQ与△ABO相似，由于已知△ABO中∠O=90，故在△APQ中相应的应有∠Q=90，也就要求PQ⊥直线l，即圆与直线l相切于点Q，这时有P到l的距离D=R，即|10-2t|=10-3t/2，解之得
t=0或40/7

顺便鄙视一下“西瓜砣”的，抄我的答案，幸亏刚才2步3步算错了，4步还没做，哈哈^_^

Answer 2

(1）⊙P与l切于B，所以PB⊥l。PB斜率为-4/3，又B点坐标为（0，8）所以PB方程为Y=-4/3X+8，P坐标为（6，0），R=|PB|=10

（2P变为一动点，坐标为(6-10t/3，0),由于直线l是确定的,可变换为：3x-4y+32=0，则任意一点(x,y)到l的距离可写为D=|3x-4y+32|/(√3×3+4×4)=|3x-4y+32|/5,现将(x,y)换为(6-10t/3，0),可求出D=|18-10t+32|/5=|10-2t|
而现在半径R也在减小，R=10-3t/2
欲始终有交点，则
t〉=0；
R=10-3t/2〉0；
D〈=R；
解之得40/7〈=t〈=20/3

.3,弦长设为L，(L/2)^2=R×R-D×D=9tt/4-30t+100-4tt+40t-100=-7tt/4+10t,可看出抛物线开口向下，中心x坐标为-b/2a=20/7,此点在t的范围40/7的左侧，故在t的范围40/7~20/3内，t越小L越大，故当t=40/7时，弦长达到最大值

Answer 3

（1）⊙P与l切于B，所以PB⊥l。PB斜率为-4/3，又B点坐标为（0，8）所以PB方程为Y=-4/3X+8，P坐标为（6，0），R=|PB|=10

（2）时间t后，P坐标为（6-3/10t，0），R=10-2/3t。P到l的距离为h=（3*（6-3/10t）+32）/5=10-3/50t。
要使⊙P始终与直线l有交点，则h<=R,解之得，t<=0(数据好奇怪？？）

下面先不做了，不知道我做的数据对不对。总感觉数据怪怪的