Question

函数f(x)=x的立方-3x的平方+2,求f(x)在[0,t]t>0内的最大值和最小值

Answer 1

1. 先求f（x）的导数：

2. 导数在（0，2）小于零；在（2，+∞）上大于零====》在（0，2）上递减；在（2，+∞）上递增

3. 讨论t的取值范围 （令f(t)=f(0)=2    ====> t=0或3）

          （1）0<t≤3；由于单调递减：

                              ∴最大值f（0）=2；最小值f（2）= -2

          （2）t>3;由于单调递增 f(t)>f(3)=2

                              ∴最大值f（t）；最小值f（2）= -2
   

大致函数图像：

Answer 2

∵f(x)=x³-3x²+2
∴f'(x)=3x²-6x
令f'(x)=0，即3x²-6x=0
解得：x=0或2
当x<0时，f'(x)>0，即f(x)单调递增
当0<x<2时，f'(x)<0，即f(x)单调递减
当x>2时，f'(x)>0，即f(x)单调递增
∴在[0,t]范围内：
1°当0＜t<2时，f(x)的最大值为f(0)=2，最小值为f(t)=t³-3t²+2
2°当t≥2时，f(x)的最小值为f(2)=-2，最大值为f(0)和f(t)中的较大者
(1)若f(0)>f(t)，即2＞t³-3t²+2，解得：t<3
则当2≤t<3时，f(x)的最大值为f(0)=2，最小值为f(2)=-2
(2)若f(0)≤f(t)，即2≤t³-3t²+2，解得：t≥3
则当t≥3时，f(x)的最大值为f(t)=t³-3t²+2，最小值为f(2)=-2

Answer 3

令f'(x)=3x^2-6x>=0
x>=2或x<=0
f(0)=f(3)=2
当0<t<=2时，最大值是f(0)=2,最小值是f(t)
当2<t<=3时，最大值是f(0)=f(3)=2,最小值是f(2)=-2
当t>3时，最大值是f(t)，最小值是f(2)=-2

Answer 4

高手回答的很详细