Question

一高等数学证明题，证明函数的极限

用函数极限的定义证明（1+x∧3）/（2（x∧3））当x趋于无穷的极限为1/2，我主要是不知道δ是怎么算出来的，给个具体解答吧，我qq号435325045，最好求加好友，这样可能更容易明白
不懂就不要在这里乱写，请看清我问的是什么，我火了！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！问题中的δ是德尔塔

Answer 1

唉，同学啊，莫生气。你可以先化简一下（1+x∧3）/（2（x∧3））=1/2+1/2(x^3);

由极限定义，可以得到|1/2+1/2(x^3)-1/2|<e;即1/2(x^3)<e;解这个不等式，就得到x>(1/2e)^(1/3)；那么δ就等于 (1/2e)^(1/3)；这不就出来了么，然后你再按照标准的格式描述一遍就可以了。

Answer 2

x趋于无穷。没有δ。
|(1+x^3)/(2(x^3))-1/2|=(1/2)|1/x^3|<1/(2|x|) (只需要|x|>1)
对任给ε>0. 取X=1/(2ε),当|x|>X,有：
|(1+x^3)/(2(x^3))-1/2|=(1/2)|1/x^3|<1/(2|x|)<ε
y由极限定义：极限=1/2

Answer 3

对任给的e>0，取A=[1/(2e)]^(1/3)，即2A^3=1/e，则
当|x|>A时，有
|(1+x^3)/(2x^3)-1/2|
=1/(2|x|^3)
<1/2A^3
=e，由极限定义有
当x趋于无穷时，lim (1+x^3)/(2x^3)=1/2。
注意：这里是自变量x趋于无穷，因此正规的说法不是取δ，
而是取A。也就是要考虑自变量x充分大时，函数值有什么样的变化趋势。

追问

A是怎么得到的

追答

就是求解不等式1/(2|x|^3)1/e，
或者|x|^3>1/(2e)。开三次方得
|x|>(1/(2e)]^(1/3)。因此取A=(1/(2e)]^(1/3)。

Answer 4

（1+x∧3）/（2（x∧3））=(1+1/x^3)/2
f(x)=1/x^3,
对于任意给定的ε>0,要使│1/x^3-0│<ε,则只要|1/x|<1/ε^(1/3),
所以对于任意给定的ε>0,存在δ=1/ε^(1/3)>0,当0<|1/x|<δ时,有│1/x^3-0│<ε,
所以f(x)=1/x^3的极限为0
所以（1+x∧3）/（2（x∧3））当x趋于无穷的极限为1/2

Answer 5

（1+x^3）/（2（x^3）)
=1/2(（1+x^3）/ x^3)
=1/2(1+（1/ x^3）) x无穷大
=1/2(1+0)
=1/2