Question

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间（a,b）内可导，且f(a)=f(b)=0。

证明存在K∈(a,b),使得3f'(k)+2f(k)=0

Answer 1

设g(x)=3f'(x)+2f(x)，显然g(x)在[a，b]连续；①如果f(x)=c(c为常数)，则f'(x)=0，f(x)=c=f(b)=0，所以g(x)=0，即对任意k∈(a，b)，均满足3f'(k)+2f(k)=0；②如果f(x)≠c，则根据洛尔定理，至少存在一点x0∈(a，b)，满足f'(x0)=0，不妨设x0是所有满足f'(x)=0[x∈(a，b)]最靠近b点的一点，所以在区间(x0，b)，f'(x)不变号[否则存在x1∈(x0，b)，满足f'(x1)=0，这和x0最靠近b点的假定矛盾！]，即在区间(x0，b)，f'(x)＞0和f'(x)＜0二者必居其一；所以在区间(x0，b)，f(x)严格单调；又因f(b)=0，所以在区间(x0，b)，f(x)≠0；另外f'(x)可以表示成如下形式:f'(x)=f(x)/(x-x')，式中x'为f(x)在x处的切线和x轴的交点，所以g(x)可表示成如下形式:g(x)=3f'(x)+2f(x)=3f(x)/(x-x)+2f(x)=f(x)[3/(x-x')+2]，令g(x)=0，即f(x)[3/(x-x')+2]=0，因在区间(x0，b)，f(x)≠0，所以3/(x-x')+2=0，即x-x'=-3/2，所以本题等效为在区间(x0，b)寻找该式的解；显然当x∈(x0，b)时，x-x'∈(-∞，0)，所以在区间(x0，b)必有一点k，满足k-k'=-3/2；因此存在k∈(x0，b)，即k∈(a，b)，使得3f'(k)+f(k)=0(证毕)。

Answer 2

我的解答这么简单，为什么不采纳我的啊！！！！！！！

Answer 3

这个可以么？...