Question

线性代数 对角化 设矩阵A=（0 1 1 x 2 y 1 1 0）可对角化，求X和Y应满足的条件。

Answer 1

|A-λE|=
-λ 1 1
x 2-λ y
1 1 -λ
r1-r3
-λ-1 0 1+λ
x 2-λ y
1 1 -λ
c3+c1
-λ-1 0 0
x 2-λ x+y
1 1 1-λ
= -(λ+1)[(2-λ)(1-λ)-x-y]
= -(λ+1)(λ^2-3λ+2-x-y).
所以 -1 是A的特征值.
A可对角化有种情况:
1. A有3个不同的特征值
2. A有2重特征值λ,且r(A-λE)=1
所以排除掉A有重特征值λ,且r(A-λE)>=2的情况即可

若-1是A的2重特征值, 则 (-1)^2-3*(-1)+2-x-y=0
所以 x+y=6, y=6-x
A的特征值为 -1,-1,4
A+E=
1 1 1
x 3 6-x
1 1 1
-->
1 1 1
x-3 0 3-x
0 0 0
由于A可对角化, 所以 x=3,进而y=3.
若-1不是A的2重特征值,且A有2重特征值
则 λ^2-3λ+2-x-y 是一个完全平方
所以 3^2-4(2-x-y)=0
所以 x+y=-1/4
此时A的特征值为 -1, 3/2,3/2
此时, A-(3/2)E=
-3/2 1 1
x 1/2 -1/4-x
1 1 -3/2
由于 r(A-(3/2)E)>=2 (1,3行线性无关)
所以A不能对角化.
综上有 x+y≠-1/4, 或 x=y=3

Answer 2

求A的特征值，因为A能相似对角化，所以A的特征值个数为三个，|λE-A|=(λ+1)(λ^2-3λ+2-x+y)=0 所以后面的方程要有解，再求下判别式大于等于零

追问

能不能给详细点的解题答案啊~