Question

函数连续但不是连续函数是什么意思？

Answer 1

"函数连续但不是连续函数"这句话可能是表达错误或者有一些误解。在数学中，连续和连续函数是同一个概念。
一个函数被称为连续函数，意味着在其定义域内，函数的值随着自变量的变化而变化，且在每个点上都不存在跳跃或断裂。换句话说，如果一个函数的图像可以被一支笔在不离开纸面的情况下画出来，那么它就是一个连续函数。
相反地，如果一个函数在某些点上存在断裂或跳跃，那么它就不是连续函数。
因此，函数连续和连续函数是同一个概念，不应该说“函数连续但不是连续函数”。可能是在表达时出现了错误或混淆。

Answer 2

函数为g(x)=x2sin1x,x≠0g(x)=x2sin⁡1x,x≠0

在[0,1][0,1]上定义函数g(x)=x2sin1x,x≠0g(x)=x2sin⁡1x,x≠0

补充定义g(0)=0g(0)=0, 则函数g(x)g(x)为连续函数，图形如下。

导函数可求得g′(x)=2xsin1x−cos1x,x≠0g′(x)=2xsin⁡1x−cos⁡1x,x≠0

并且g′(0)=0g′(0)=0, 所以g′(x)g′(x)在x=0x=0处并不连续。导函数存在但并非RR上连续函数。

设{rn}{rn}为闭区间[0,1][0,1]之间所有的有理数，则函数

f(x)=∑n=0∞12ng(x−rn)f(x)=∑n=0∞12ng(x−rn)

在[0,1][0,1]一致收敛

f′(x)=∑n=0∞12ng′(x−rn)f′(x)=∑n=0∞12ng′(x−rn)

在[0,1][0,1]上的有理数点rnrn上不连续，在[0,1][0,1]上的无理数点连续。

扩展资料：

1.导函数条件：

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在它的左右极限存在且相等）推导而来。

例如：f(x)=|x|在x=0处虽连续，但不可导（左导数-1，右导数1）

2.单调性：

一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间y'>0，那么函数y=f(x)在这个区间上为增函数：如果在这个区间y'<0，那么函数y=f(x)在这个区间上为减函数；如果在这个区间y'=0，那么函数y=f(x)在这个区间上为常数函数。

参考资料：百度百科-导函数