Question

y2=2x (0=<x=<2) 求曲线段的弧长

y的平方等于2倍x，即抛物线

Answer 1

y^2=2x（书写时可用^表示乘方）
x=y^2/2
取y为积分变量，x'=dx/dy=y
0≤x≤2（或写为0<=x<=2），则-2≤y≤2（大于等于：>=；小于等于：<=）
弧长l=∫(-2→2)√(1+x'^2)dy
=∫(-2→2)√(1+y^2)dy
={(y/2)√(y^2+1)+(1/2)ln[y+√(y^2+1)]}|(-2→2)
=2{(2/2)√(2^2+1)+(1/2)ln[2+√(2^2+1)]}（被积函数是偶函数，则原函数(C=0时)是奇函数）
=2[√5+(1/2)ln(2+√5)]（若F(x)是奇函数，则F(x)-F(-x)=2F(x)）
=2√5+ln(2+√5)

Answer 2

y^2=2x（书写时可用^表示乘方）
x=y^2/2
取y为积分变量，x'=dx/dy=y
0≤x≤2（或写为0<=x<=2），则-2≤y≤2（大于等于：>=；小于等于：<=）
弧长l=∫(-2→2)√(1+x'^2)dy
=∫(-2→2)√(1+y^2)dy
={(y/2)√(y^2+1)+(1/2)ln[y+√(y^2+1)]}|(-2→2)
=2{(2/2)√(2^2+1)+(1/2)ln[2+√(2^2+1)]}（被积函数是偶函数，则原函数(C=0时)是奇函数）

Answer 3

16/3