Question

高中数学题解答，如图，辅助线已作好

三棱锥p—abc中，ab等于ac，d为bc中点，po垂直面abc，垂足落在线段ad上，ap垂直bc

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Answer 1

先证明∠BMC是所求
1.做BM垂直于AP于M，连接CM
因为AB=AC,BD=CD,所以AD垂直于BC（1）。
因为PO垂直于ABC，所以PO垂直于BC（2）。
因为AD交PO于O，（1），（2），所以BC垂直于面APD。所以BC垂直于AP（3）。
因为BM垂直于AP,（3）,BM交BC与B，所以AP垂直于面BCM。所以∠BMC是所求.
求：连接DM，因为AP垂直于面BCM，所以AP垂直于DM。
PO=4，AO=3，AP=5.
AD=AO+OD=5，AD=AP.三角形PAD是等腰三角形。
PO和DM是对应等腰三角形两个腰上的高，相等！
所以DM=PO=4，BD=DC=4,∠BMC=90°
即二面角B-AP-C的大小是90°。

Answer 2

解：在面ABP内，过点B作AP的垂线，垂足为M，连接CM，则CM垂直于AP，角BMC为二面角B-AP-C的平面角（证明略）
　　以O为原点，向量OD方向为x轴正方向，向量BC方向为y轴正方向，向量OP方向为z轴正方向。
　　则A(-3,0,0),B(2,-4,0),C(2,4,0),P(0,0,4),AP=(3,0,4)
　　因点M在AP上，设AM=kAP=k(3,0,4)=(3k,0,4k)(0<k<1),
所以M(3k-3,0,4k),BM=(3k-5,4,4k)
　　因AM垂直于BM，(3k,0,4k)(3k-5,4,4k)=25k^2-15k=0,解得k=0.6,
所以M(-1.2,0,2.4),BM=(-3.2,4,2.4),CM=(-3.2,-4,2.4),|BM|^2=|CM|^2=32
在三角形BMC中由余弦定理得cos∠BMC=0,所以cos∠BMC=90度
即二面角B-AP-C是90度

Answer 3

解：如图所示，依题意得
∠BMC即为平面BAP与平面CAP所成的二面角，且PA⊥MD,BC⊥MD
在RT△POA中 sin∠PAO=4/5
而∠PAO=∠MAD
在RT△AMD中
sin∠MAD=MD/AD
MD=5*（4/5)=5
在RT△MBD中
MB=4√ 2 MC=4√ 2
在△MBC中 cos∠BMC=0 （余弦定理）
∴∠BMC=90°

Answer 4

因为：AP垂直BC,BM垂直AP，
所以：AP垂直面MBC
因为：PO垂直面ABC
所以：PO垂直BC
所以：BC垂直PD
因为：D为中点
所以：PBC为等腰三角形，
所以：PB=PC
又因为：AP垂直BC,BM垂直AP，
所以：三角形BMP与三角形CMP全等
所以：BM=CM
又因为：D 为中点
所以:MD垂直BC
又因为：VP-ABC=1/3POxSABC=1/3PMxSMBC+1/3AMxSMBC=1/3x5xSMBC
所以：SMBC=4/5SABC
SABC=ADxBC=4x5=20
所以SMBC=16
所以：MD=4
所以：MD=BD
所以：角BMD=45度 角BMC=90度
（加证角BMC夹角就行了，不写了）

Answer 5

由ap垂直bc，ad垂直bc，得bc垂直面adp。那么bc垂直pd，因d为中点，pd垂直bc，得三角形pbc为等腰三角形，pb=pc。ab=ac ,pa是公共边，三角形APB全等三角形APC,这样只有把边多算出来就好了。