Question

用分部积分求不定积分x/sin^x,ln(x+根号（1+x^2)，xe^2x

Answer 1

∫ x/sin²x dx
= ∫ xcsc²x dx
= ∫ x d(- cotx)
= - xcotx + ∫ cotx dx
= - xcotx + ∫ d(sinx)/sinx
= - xcotx + ln|sinx| + C

∫ ln[x + √(1 + x²)] dx
= xln[x + √(1 + x²)] - ∫ x * 1/[x + √(1 + x²)] * [1 + x/√(1 + x²)] dx
= xln[x + √(1 + x²)] - ∫ x/[x + √(1 + x²)] * [x + √(1 + x²)]/√(1 + x²) dx
= xln[x + √(1 + x²)] - ∫ x/√(1 + x²) dx
= xln[x + √(1 + x²)] - (1/2)∫ d(1 + x²)/√(1 + x²)
= xln[x + √(1 + x²)] - (1/2) * 2√(1 + x²) + C
= xln[x + √(1 + x²)] - √(1 + x²) + C

∫ xe^(2x) dx
= (1/2)∫ x d[e^(2x)]
= (x/2)e^(2x) - (1/2)∫ e^(2x) dx
= (x/2)e^(2x) - (1/4)e^(2x) + C
= (1/4)(2x - 1)e^(2x) + C