Question

已知函数f(x)=ax-e^x(a＞0) 当a=1/2时求f(x)的单调区间 但1≦a≦1+e时，

已知函数f(x)=ax-e^x(a＞0)
当a=1/2时求f(x)的单调区间
但1≦a≦1+e时，求证f(x)≦x

Answer 1

（1）a=1/2时
f'(x)=1/2-e^x
故x∈(-∞,ln(1/2)],时，单调递增
x∈(ln(1/2),+∞)时，单调递减
(2)1≦a≦1+e时
设g(x)=f(x)-x=(a-1)x-e^x
g'(x)=a-1-e^x,故在x=ln(a-1)时，g(x)取得最大值G=(a-1)ln(a-1)-(a-1)=(ln(a-1)-1)(a-1)
因为1≦a≦1+e，所以0≦ln(a-1)≦1,故G≦0
即有g(x)≦(0)
即f(x)≦x

Answer 2

当a=1/2,f(x)=x/2-e^x

f'(x)=1/2-e^x>0
e^x<1/2
x<ln1/2
即在(-无穷,ln1/2)上是单调增的,同理当f'(x)=1/2-e^x<0,x>ln1/2时,即在(ln1/2,+无穷)上是单调减的.
设g(x)=f(x)-x=ax-e^x-x=(a-1)x-e^x
g'(x)=a-1-e^x>0,e^x<a-1