Question

已知抛物线y=ax^2+bx+c经过点A(-1,0)，B(3,0)，C(0，3)。（1）求抛物线的解析式和对称轴。

已知抛物线y=ax^2+bx+c经过点A(-1,0)，B(3,0)，C(0，3)。
（1）求抛物线的解析式和对称轴。
（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，求四边形ABDC的面积。
（3）若抛物线的对称轴与线段BC交于点E，点F为y轴上一动点，当△CEF和△ABC相似时，求点F的坐标。

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Answer 1

（1）因为抛物线过（-1，0）、（3，0），因此设解析式为 y=a(x+1)(x-3) ，

将 x=0 ，y=3 代入可得 3= -3a ，解得 a= -1 ，

因此抛物线解析式为 y= -(x+1)(x-3)= -x^2+2x+3 。

（2）因为抛物线对称轴为 x=1 ，所以 D 坐标为（2，3），

由于 CD//AB ，且 CD=2 ，AB=4 ，高 h=3 ，所以 SABDC=(2+4)*3/2=9 。

（3）容易求得 E（1，2）。设 F（0，b），由于 ∠ABC=∠ECF=45°，

所以，当 BA/BC=CE/CF 或 BA/BC=CF/CE 时，两个三角形相似，

则 4/(3√2)=√2/CF 或 4/(3√2)=CF/√2 ，

解得 CF=3/2 或 4/3 ，

因此由 3-b=3/2 或 3-b=4/3 得 b=3/2 或 b=5/3 ，

即 F 坐标为（0，3/2）或（0，5/3）。

Answer 2

（1）把A、B、C三点坐标代入抛物线方程，可得三个方程：0=a-b+c,0=9a+3b+c,3=c；解方程组，可求得a=-1,b=2,c=3，抛物线的解析式为y=-x^2+2x+3，对称轴为x=-b/2a=-2/2*(-1)=1。
（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，则D点坐标为（2，3），四边形ABDC为一等腰梯形，上底CD=2，下底AB=4，高OC=3，则四边形ABDC的面积S=（2+4）*3/2=9。
（3）直线CB方程（y-0）=（3-0）/（0-3）*（x-3），即y=3-x，联立解得与对称轴x=1的交点E的坐标（1，2）。当△CEF和△ABC相似时，EF∥AC，则EF与AC斜率相同，AC斜率=（3-0）/（0-（-1））=3，所以EF方程为y-2=3（x-1），其与y轴（即x=0）的交点为两方程联立的解，解得（0，1）即为F点坐标。
Sorry，看错题了，把△CEF看成△BEF了。

Answer 3

解:(1)y=ax²+bx+c过点A，B，C，则：
0=a-b+c;
0=9a+3b+c;
3=c.
解得:a=-1,b=2,c=3.
故函数解析式为y=-x²+2x+3.
对称轴为直线X=1.
(2)点D与点C(0,3)关于直线X=1对称,则D为(2,3).
AB=3-(-1)=4;CD=2;CO=3.
则:S梯形ABDC=(AB+CD)*CO/2=(4+2)*3/2=9.
(3)BC=√(CO²+BO²)=3√2.
CO=BO=3,则∠OCB=∠OBC=45°,易求CE=√2. 点F在CO上.
当CF/CE=BA/BC或CE/CF=BA/BC时,⊿CEF与⊿ABC相似.
即CF/√2=4/(3√2)或√2/CF=4/(3√2), CF=4/3或3/2.
则:OF=5/3或3/2.
所以,点F为(0,5/3)或(0,3/2).

Answer 4

第一题可以用交点式y=（x-x1）*（x-x2）其中x1和x2为两个与x轴的交点的横坐标，此时对称轴也就出来了
第二题作出D点即可求答
第三题要画图，对于爪鸡党不太方便

Answer 5

因为过A,B,C点，得：0=a-b+c; c=3; 9a+3b+c=0
得a=-1,b=2,c=3,