Question

方程sin(x+π/3)=m在[0,π]上有两根,求m的值及两根之和

Answer 1

在[0,π]上
π/3=<x+π/3<=4π/3
当x+π/3在[π/3,π/2]时，sin(x+π/3)从√3/2单调增加到1
当x+π/3在[π/2,4π/3]时，sin(x+π/3)从1单调减少到-√3/2
因此当√(3/2=<m<1时，方程有2个解， 分别为x1=arcsinm-π/3, x2=π-arcsinm-π/3
所以两根和=x1+x2=π-2π/3=π/3

Answer 2

因为 0<=x<=π，所以 π/3<=x+π/3<=4π/3 ，
要使方程有两根，必使 π/3<=x+π/3<=2π/3 ，
所以 √3/2<=m<1 。
设两根分别为 x1、x2 ，则 (x1+π/3)+(x2+π/3)=π ，
因此 x1+x2=π/3 。

Answer 3

这个题目可以看成是y1(x)=sin(x+π/3)与y2(x)=m何时有两个交点
因为0<=x<=π,故π/3<=x+π/3<=4π/3, 也就是说y1(x)在x=0处取值为sin(π/3)然后单调递增到1，在单调递减至sin(4π/3)，且对sin(π/3)<=y1(x)<1,均有两个x可以取得到,故m的范围是【sin(π/3)，1）
两根x1,x2之和的计算：
解方程得,x1+π/3和x2+π/3关于x=π/2对称，故x1+x2=2*π/2-π/3-π/3=π/3.

Answer 4

pi/3