Question

高数 收敛发散 判断依据请指教

Answer 1

您好，这个级数是收敛的，证明如下：
取一个大于e^(e^2)的整数a. 则当n>=a时，ln n > e^2. 所以1/(ln n)^ln n <1/e^2lnn = 1/n^2
原式=∑1/(ln n)^ln n (n从2到a-1)+∑1/(ln n)^ln n (n从a到∞)
<∑1/(ln n)^ln n (n从2到a-1) + ∑1/n^2 (n从a到∞)
前面的∑1/(ln n)^ln n (n从2到a-1)是常数，后面的∑1/n^2是收敛的。原式级数上有界。由于原式级数每一项是正的，所以原式级数收敛。
希望能帮到您。

追问

取一个大于e^(e^2)的整数a. 则当n>=a时，ln n > e^2. 这个我实在想不到 为什么这样选呢

追答

啊哈哈，不好意思，忘了跟您说做这道题的思路了。看到这道题目的时候，我们知道它和我们熟知的一些级数形式相似，就是每一项分子为1，分母是一个n的函数，这个函数也比较简短。我们熟知的∑1/n, ∑1/n^2等，也是这种形式。所以，很容易想到，要判断这个级数发散还是收敛，可以把它和我们熟知的这些级数来比较。那么和什么来比较呢？普通的思路，是从简单的比较起。另外要注意的时，我们选择的用来和原式进行比较的级数，要比较接近收敛发散的分界线。我们熟知的级数中，形式最简单的是∑1/n^p这类级数，而这些里面形式最简单的又是p=1,2的情形。而且，∑1/n和∑1/n^2又很接近收敛发散的分界线，前者发散，后者收敛，所以我们可以把原式的级数与这两个来比较，也就是比较当n充分大时，(ln n)^ln n，和n，和n^2它们的大小。
但是这三个式子，形式不是很统一。n和n^2，形式简单，(ln n)^ln n，形式就复杂一些，底数是n的函数，指数也是n的函数。形式不统一，比较起来就不方便。我们比较2/17和4/35的大小，会把2/17写成4/34,形式统一了，就好比较。所以这里，我们可以这样想，能不能让这三个式子形式统一起来呢？
要统一，有三种想法。第一，只把(ln n)^ln n变形，使它与n,n^2形式统一。第二，只把n, n^2变形，使它与(ln n)^ln n形式统一。第三，把两者变形，变成第三种统一的形式。
第一种想法似乎不好实现。
第二种想法，要么把n和n^2 变成ln n 的什么什么次方，要么变成什么什么的ln n次方。但是，根据对数函数的定义，我们知道ln n呆在指数上，利于化简。所以，我们先采取把n和n^2化成什么什么的ln n次方的形式。
我们知道n = e^ln n. 平方一下，就能得到n^2, 就是(e^2)^ln n. 于是我们知道n和n^2都是常数的ln n次方，当n充分大，即ln n充分大时，ln n会大于这些常数，所以(ln n)^ln n大于n^2. 所以1/(ln n)^ln n小于1/n^2, 级数收敛。
有了大致思路，现在该添上细节了。就是ln n的“充分大”需要多大。容易看出，只要ln n大于e^2就行了，就是说n要大于e^(e^2)，这样就能使(ln n)^ln n大于n^2了。于是您就知道这个数是怎么来的了。

Answer 2

收敛

追问

具体是为什么