Question

已知直线y=√3x+4√3与x轴、y轴分别交于A、B两点,∠ABC=60°,BC与x轴交于点C

(1），试确定直线BC的解析式（过程.. ... ！）（2），若动点P从A点出发沿AC向C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动(不与C，A重合)，动点p的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度，设三角形APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围。（※重点是过程要详细，非常的详细）
（3），在（2）的条件下，当△APQ得面积最大时，y轴上有一点M，平面内是是否存在一点N，使以A，Q，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标，若不存在，请说明理由。（这个过程只要图和坐标解析式，就是需要画四个图，并注明N点的坐标和解析式）

Answer 1

1) 因为AB的斜率为√3，所以∠BAC=60°
已知：∠ABC=60°
所以：∠ACB=60°
所以：BC与AB关于y轴对称
所以：BC的表达式：y=-√3x+4√3
2) 因为∠BAC=∠BCA=60°
所以：AB=2AO=BC=2CO
A点坐标为（-4，0），C点坐标为（4，0）
已知：动点p的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度
所以：当P在AO间运动时，即 0<t≤4，Q在CB间运动
S=t*√3（8-t）/2
当P在OC间运动时，即 4<t<8，Q在BA间运动
S=t*√3（8-t）/2
所以： S=√3/2*t*（8-t） 0<t<8
3）S=-√3/2*（t^2-8t）=-√3/2[(t-4)^2-16]
所以当t=4时，S有最大值
此时，P点与O点重合；Q点与B点重合
又知M在y轴上，A，Q，M，N为顶点的四边形为菱形
所以，AN//y轴（此时QM为菱形的边），或AN⊥y轴（此时，QM为菱形的对角线）
当AN//y轴：N点的横坐标=A点的横坐标=-4
N点的纵坐标=AB的长度=8
N（-4，8）
当AN⊥y轴，则N点在x轴上，且与A点关于原点对称
则N（4，0）与C点重合

Answer 2

这是01年黑龙江鸡西的压轴题

Answer 3

解：（1）由已知得A点坐标（-4﹐0），B点坐标（0﹐4√3﹚，
∵OA=4OB=4√3，
∴∠BAO=60°，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵OC=OA=4，
∴C点坐标﹙4，0﹚，
设直线BC解析式为y=kx﹢b，
{b=4√3
4k+b=0，
∴{k=-√3
b=4√3，
∴直线BC的解析式为y=-√3x+4√3；
﹙2﹚当P点在AO之间运动时，作QH⊥x轴．
∵QH/OB=CQ/CB，
∴QH/(4√3)=2t/8，
∴QH=√3t
∴S△APQ=1/2AP•QH=1/2t•√3t=√3/2t^2﹙0＜t≤4﹚，
同理可得S△APQ=1/2t•﹙8√3-√3t﹚=-√3/2t^2+4/√3t﹙4≤t＜8﹚.