Question

图略，F1.F2为椭圆的左右焦点，过F2的直线交椭圆于P.Q两点，PF1=PQ，PF1垂直于PQ，求椭圆离心率。速度...

图略，F1.F2为椭圆的左右焦点，过F2的直线交椭圆于P.Q两点，PF1=PQ，PF1垂直于PQ，求椭圆离心率。速度哦，拜托了！

Answer 1

设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,连结F1Q，离心率为e=c/a,c=ea,根据椭圆定义，m+n=2a,n=2a-m,(1)<F1PF2=90度，根据勾股定理，m^2+n^2=(2c)^2=(2ea)^2=4e^2a^2,(2)(1)代入（2），消去n,m^2+(2a-m)^2=4e^2a^2,2m^2+4a^2-4am+m^2-4e^2a^2=0,(3)|PF1|=|PQ|，△PF1Q是等腰直角△，|F1Q|=√2|PF1|=√2m,|F1Q|+|F2Q|=2a,|F2Q|=|PQ|-|PF2|=m-n,√2m+m-n=2a,(4)则（1）代入，√2m+m-（2a-m)=2a,m=(4-2√2)a,代入（3）式，12a^2-8√2a^2=4e^2a^2,e^2=3-2√2,e=√2-1.∴离心率e为√2-1.

Answer 2

△PQF1成等腰直角三角形QF1=√2PQ
而PF1+PF2=QF1+QF2
PQ+PF2=√2PQ+(PQ-PF2)
得PQ=√2PF2
2a=PF1+PF2=√2PF2+PF2=(√2+1)PF2
2c=F1F2
4c*c=PF1^2+PF2^2=3PF2^2 因此2c=√3PF2

Answer 3

设：PF1=PQ=m，则：
QF1=√2m
又：F1P＋PQ＋QF1=4a，则：
m＋m＋√2m=4a
则：PF1=(4－2√2)a、PF2=2a－PF1=(2√2－2)a
得：(2c)²=PF1²＋PF2²，得：
c²=3(√2－1)²a²
e=c/a=√6－√3