Question

数学家爱尔特希（Erdos)研究过的初等问题有哪些？ 1个5分至10分，酌情加分， 十分感谢，要题目和答案。

Answer 1

数学家爱尔特希(P．Erdos)提出：“在平面内有n个点，其中任意三点都能构成等腰三角形”．下面我们来探讨n＝4的情形：在平面上有四个点，任意三点都可以构成等腰三角形．如何寻找这样的四点呢？
我们采用尝试、探索的办法．最容易想到的是，使一个点到另三个点等距离．
首先，以一个点为圆心，作一个圆，其他三个点在此圆上寻找，只要使这圆上的三点构成等腰三角形即可，于是得到如图中的上面两种形式．
其次，取边长都相等的四边形，即为菱形的四个顶点(见图中第3个图)．
最后，将任一圆周5等分，取其中任意四点构造三角形(见图中的第4个图)．
综上所述，符合条件的四点有且仅有三种形式：①任意等腰三角形的三个顶点及其外接圆圆心(即外心)；②任意菱形的4个顶点；③任意正五边形的其中4个顶点．
事实上，当n＝3、4、5、6时，爱尔特希问题都有解．已经证明，n≥7时，问题无解．
尽管这是一个已经解决的问题，但其尝试、探索的办法是值得我们学习的，同时也加深了我们对圆的有关性质的理解．

追问

废话，我也会证！敢不敢题目多一些？

追答

如此态度，还会有人回答吗？

Answer 2

有个著名的爱尔特希几何不等式，一时没法打出来，你可以去查 刚刚研究组合几何他的定理：存在f(n)，三点不共线的m个点中，必存在n个点是一个凸n边形顶点

Answer 3

在数论，组合论，概率论，集合论，数学分析等方面的贡献。著作有：对于一组有限集相交定理。

追问

要题目和答案，太少了，至少4个。

追答

这个，抱歉，找不到

Answer 4

拉姆塞数，应该算是Erdos研究过的一个重大课题了。R(m,n) 表示满足如下条件的最小自然数L：任意L个人里，就必然有m个人互相都认识，或是n个人互相都不认识（认识和不认识都假设是相互关系）。

R(3,3)=6是一道经很典的奥数题目：任意6个人里，必然有3个互相认识，或是互相不认识（证明在参考资料里有）。R(3,4)=9也是一道“复杂版”的R(3,3)=6，曾经在数学竞赛里出现过。但是m和n稍微大了一点点，R(m,n)的难度就出现激增。

追问

虽然，可是不只Erdos，其他人也研究在先过呢。
加起来还没有4个问题。。。

追答

呵呵，20世纪数学家研究的课题，你觉得有多少证明是我们能看懂的？

我就不说17-19世纪的有些证明（高斯啊这种人的）就已经难得离谱了。

你如果只要他研究的课题的话，查查数学史就能有数的，但如果你还要答案（还得是我们看的懂的答案）的话，这真的有点难啊。

追问

凡初等问题，难如范德瓦尔登定理也是能看得懂的，更不用说其他。

追答

哈哈，想来你必然是搞奥赛的吧，口气不小。这种东西你到网上搜搜就行了，即便真有证明，也绝对不是三言两语里能写清楚的。你可以去看看“素数密度定理”，貌似他提供了个初等证明来着。

Answer 5

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