Question

已知如图,菱形ABCD中,E是AB的中点,且DE⊥AB,AE=2.

求:(1)∠ABC的度数; (2)对角线AC,BD的长;(3)菱形ABCD的面积

Answer 1

（1）证明：在菱形ABCD中，有AB＝BC＝CD＝DA
因为DE垂直AB且E是AB的中点，所以在三角形AED中有AD＝　2AE
所以在直角三角形AED中有角DAB＝90－30＝60度（30度角所对的边是斜边的一半
所以三角形ABD是等边三角形，那么AB＝BD＝AD＝BC＝CD
所以三角形BCD也是等边三角形
所以角ABC＝角ABD＋角CBD＝60＋60＝120度
(2)因为AE＝2所以BD＝2AE＝2＾2＝4
在三角形ACD中有AD＝CD，角ADC＝角ADB＋角BDC＝60＋60＝120度
所以角DAC＝角DCA＝（180－120）／2＝30度（等腰三角形中底角相等）
所在在三角形AOD中有角AOD＝180－角DAC－角ADB＝180－30－60＝90所以AC垂直BD所以三角形AOD和三角形COD是直角三角形且都有一个角是30度
DO＝BO＝AE所以AO＾AO＝AD＾AD－DO＾DO（勾股定理）
　　　　　　　　　　AO＾AO＝4＾4－2＾2
　　　　　　　　　　　　　AO＝2倍的根号3
所以AC＝2AO＝4倍的根号3
（3）菱形ABCD的面积S＝2＾1／2＾AC＾DO
　　　　　　　　　　　　＝2＾1／2＾4倍的根号3＾2
　　　　　　　　　　　　＝8倍的根号3

Answer 2

解：因为DE⊥AE，且AE=2，AE=EB
所以：在直角△AED中，AE=2，AD=4，
所以：∠ADE=30°
所以：∠DAB=60°
所以：∠ABC=120°

由棱形的性质知：∠AOB=90°，∠OAB=∠OAD=30°
所以：BO=(1/2)AB=2，AO=2√3
所以：AC=4√3，BD=4

根据直角三角形的性质可求得：DE=2√3
所以：菱形的面积为S=AB*DE=4*2√3=8√3

Answer 3

（1）菱形四边相等，AE=2，AB=4=AD，所以∠ADE=30°，∠DAE=60°，于是∠ABC=120°
（2）由菱形的性质可知，△ADB为等边三角形，所以BD=4，AO=DE=4cos30°=2√3，AC=4√3
（3）菱形面积S=2S△ABD=4S△ADE=4*1/2*AD*AEsin∠DAE=8√3

追问

4cos30°？

追答

AO=DE=ADcos∠ADE