Question

如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=根号2,AB=1,AD=m,E为BC中点,且∠AEA1恰为二面角A1-ED-A的平面角。

（1）求证：平面A1DE⊥平面A1AE
（2）求三棱锥E-ADA1的体积
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Answer 1

1) 因为∠AEA1为二面角A1-ED-A的平面角

    所以∠AEA1的两边AE、A1E都垂直于平面A1DE和平面ADE的交线，DE

    即AE、A1E⊥DE

    则有平面A1AE⊥DE

    由于DE在平面A1DE上，所以由DE⊥平面A1AE得平面A1DE⊥平面A1AE

2) 过E作EF⊥AD于F

    E是BC中点，有BE=BC/2=m/2

    由∠FAB=∠ABE=∠AFE=90°得四边形ABEF为矩形，则EF=AB=1，AF=BE=m/2

    上一小题已证AE⊥DE，即△ADE是直角三角形，∠AED=90°

    又AF=m/2=AD/2，即F是AD中点，EF是Rt△ADE斜边上的中线

    所以AD=2EF=2*1=2

   

    由于平面ABCD⊥平面ADD1A1，EF在平面ABCD上

    所以EF⊥平面AA1D，即EF是三棱柱E-ADA1在底面AA1D上的的高

    所以V三棱柱E-ADA1=S△A1AD*EF/3=AA1*AD/2*EF/3

                                    =√2*2/2*1/3=√2/3

   

Answer 2

郭敦顒回答：
没给出图形，自绘了（网络传送时不能显示线条，字符位置也有变）。
∵长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=根号2,AB=1,AD=m,E为BC中点,且∠AEA1恰为二面角A1-ED-A的平面角。
∴AE⊥DE，∴∠DAE=∠ADE=∠BAE=∠AEB=∠CED=∠CDE=45°
作EF⊥AD于F，则AF=DF
∴BE=CE=AF=DF=EF=AB=1，
（1）求证：平面A1DE⊥平面A1AE
∵DE在平面A1DE上，AE在平面A1AE上，AEA1恰为二面角A1-ED-A的平面角
∴AE⊥DE，∴平面A1DE⊥平面A1AE
（2）求三棱锥E-ADA1的体积
∵AA1=√2，AD=2AF=2，∴SRt⊿A1AE=（2×√2）/2=√2=
EF是三棱锥E-ADA1的高，EF=1
V E-ADA1=S Rt⊿A1AE×EF/3=√2×1/3=0.4714
D1
C1
D
A1 45° 45° C
F B1 90° 45°
45° 45° E
A
B

Answer 3

1） AEA1恰为二面角A1-ED-A的平面角，且DE为公共棱，故AE垂直DE ,A1E垂直DE,AE交A1E於E点，即DE垂直平面AA1E,又DE包含於平面A1DE,故平面A1DE垂直平面A1AE,
2），三棱锥E-ADA1的体积就是以三角形AA1D为底面积的三棱锥，故求出高即可，过E做EH垂直AD於H点，易得EH垂直AD,又EH//AB,AB垂直AA1,故EH垂直AA1,即EH即为高，EH=AB=1
三角形AA1D面积=1/2×根号2×m 故体积=1/3×1/2×根号2×m×1=根号2×m/6