Question

函数y=1/x与y=√(4-x^2)的图像有两个交点(x1,y1),(x2,y2),则x1-y1+x2-y2=?

Answer 1

y=√(4-x^2) 的图像虽然只是半圆，但它与 y=1/x 的交点仍然关于直线 y=x 对称，

这是因为圆 x^2+y^2=4 和双曲线  y=1/x 的图像均关于直线 y=x 对称 ，

由此得 x1=y2 ，x2=y1 ，

所以 x1-y1+x2-y2=(x1-y2)+(x2-y1)=0 。

Answer 2

因为y1=1/x1，y2=1/x2，所以
x1-y1+x2-y2=x1-1/x1+x2-1/x2
=(x1+x2)-(x1+x2)/(x1*x2)
=(x1+x2)*[1-1/(x1*x2)]
联立两方程，得到1/x=√(4-x^2)，两边同时平方，并令u=x^2，得
u^2-4*u+1=0，于是有
u1*u2=(x1*x2)^2=1，u1+u2=(x1+x2)^2-2*x1*x2=4
注意到1/x=√(4-x^2)>=0，所以x1，x2为非负，
解得x1*x2=1，x1+x2=√(2*1+4)=√6

因此x1-y1+x2-y2=(x1+x2)*[1-1/(x1*x2)]=√6*（1-1/1)=0

Answer 3

提示：前是时反比例函数，后者是x轴上方的一个半圆（原点为圆心，直径长4），两者在第一象限有两个交点。

1/x=√(4-x^2)
x>0, x^2(4-x^2)=1
x^4-4x^2+1=0
x^2=2±√3
因为x>0，设x1>x2则
x1=√(2+√3),x2=√(2-√3),x1x2=√(2+√3)√(2-√3)=1
x1-y1+x2-y2=x1-1/x1+x2-1/x2=x1+x2-(x1+x2)/(x1x2)=x1+x2-x1-x2=0

但是x1+x2 = √(2+√3)+√(2-√3), 会等于√6吗？