Question

数学！！

已知定点A（-2，0），动点B是圆F（X-2）^2+Y^2=64(F为圆心)上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P。 已知定点A（-2，0），动点B是圆F（X-2）^2+Y^2=64(F为圆心)上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P。1.则动点P的轨迹方程为2.直线Y=√3X+1交P点的轨迹于M，N两点，若P点的轨迹上存在点C，是向量OM+向量ON=m倍向量OC，求C点坐标！！！！要求使用椭圆参数方程去做！！！并要回答双曲线参数方程的应用且要举例题说明！！！好的回答一定加分！！

Answer 1

1 由线段AB的垂直平分线交BF于P可得铅没猜
PA=PB
又PB+PF=BF=8
则PA+PF=8
可知动点P是以A F为焦槐型点的椭圆
则 2a=8 c=2
b^2=a^2-c^2=12
故动点P的轨迹方察纯程为x^2/16+y^2/12=1
2 设M(x1,y1) N(x2,y2) C(x,y)
将直线Y=√3X+1代入椭圆方程可得
15x^2+8√3x-44=0
则x1+x2=-8√3/15
y1+y2=√3(x1+x2)+2=2/5
由向量OM+向量ON=m倍向量OC可知
(x1+x2,y1+y2)=m(x,y)
即mx=x1+x2=-8√3/15 my=y1+y2=2/5
又x^2/16+y^2/12=1
解得m=√15/15

Answer 2

（1）由题意|PA|=|PB|，且|PB|+|PF|=8，
∴|PA|+|PF|=8＞纳岁喊|AF|．
因此点P的轨雀山迹是以A，F为焦点的椭圆、（4分）
设所求椭圆的方程为x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)
∴2a=8，a=4，a²-b²=c²=2²=4
∴b2=12
∴点P的轨迹方程为x²/16+y²/12=1
（2）假设存在满足题意的点C（4sinα，2√3cosα），设M（x1，y1），N（x2，y2）
由向量OM+向量ON=m倍向量OC可知
(x1+x2,y1+y2)=m（4sinα，洞野2√3cosα）
∴4sinα=（x1+x2）/m；2√3cosα=（y1+y2）/m
再将直线Y=√3X+1代入椭圆方程可得
15x^2+8√3x-44=0
则x1+x2=-8√3/15
y1+y2=√3(x1+x2)+2=2/5
∴sinα=-2√3/（15m） ；√3cosα=√3/（15m）
由sin²α+cos²α=1得
m²=1/15
∴m=±1/√15
∴sinα=-2√5/5，cosα=√5/5或sinα=2√5/5，cosα=-√5/5
∴点C坐标为（-8√5/5,2√15/5）或（8√5/5,-2√15/5）

Answer 3

解：（1）|PA|=|PB|，且|PB|+|PF|=8，
∴|PA|+|PF|=8＞|AF|．
可知动点P是以A F为焦点的椭圆
设所求椭圆的方程为x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)
则 2a=8 c=2
b^2=a^2-c^2=12
∴点P的轨迹方程为x²/16+y²/12=1
（2）假设存在满足题意的点C（4sinα，2√3cosα），设M（x1，y1），N（x2，y2）
向量OM+向量ON=m倍向量OC可得：
(x1+x2,y1+y2)=m（4sinα，2√3cosα）
∴4sinα=（x1+x2）/m；2√3cosα=（乎迟y1+y2）/m
再将直线Y=√3X+1代入椭圆方程可得
15x^2+8√3x-44=0
则x1+x2=-8√3/15
y1+y2=√3(x1+x2)+2=2/5
∴sinα=-2√3/（15m） ；√3cosα=√岁森李3/（15m）
由sin²α+cos²α=1得
m²=1/15
∴m=±1/√15
∴sinα=-2√5/5，cosα=√5/5或sinα=2√5/5，cosα=-√春伍5/5
∴点C坐标为（-8√5/5,2√15/5）或（8√5/5,-2√15/5）