Question

高分请教数学高手。微分方程 ODE 数学分析 方程 函数 微积分

X为4阶向量(t的函数), 即X=X(t)，A是4x4矩阵，求解ODE： dX/dt = AX，A如图。
教材给了特征值和特征向量解法，具体如下。
100分求高手讲为何最终那个表达式是X的通解 如果我看明白了感激不尽。。

X=X(t)，A是4x4矩阵，求解ODE： dX/dt = AX，A如图

Answer 1

首先你要会解最简单的 dX/dt=DX，其中 D 是对角阵
这时候是 n 个互相独立的方程 x_j'=d_j*x_j => x_j=C_j*exp(d_j*x)
对于一般的问题 dX/dt=AX 要设法通过加减消元法把 A 化到（分块）对角阵，这样就可以解几个比较小的独立的系统

你这个问题里 A 是可对角化的矩阵，可以表示成 A=PDP^{-1}
既然如此做换元法 Y(t)=P^{-1}X(t) 可以得到 dY/dt=DY
解出 Y(t) 之后再代回去得到 X(t)=PY(t)
求特征分解的过程就是加减消元的过程，你自己动手算一遍

另外，这里 A 的特征值都是虚数，很多时候需要的是实数域上的解
此时利用 Euler 公式把 exp(a+ib) 写成 exp(a)[cos(b)+isin(b)]
所以在这个问题里最终的解都以三角函数而非指数函数的形式出现
你把上面的对角化先搞懂了这个就容易理解了
这里 A=PDP^{-1} 中的 D 是块对角阵，每个 2x2 块其实可以进一步对角化，同样，自己动手算一遍，不要凭空想