设X,Y独立同分布,都服从标准正态分布N(0,1),求E【min(X,Y)】 5
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令μ=0，σ=1就行，详情如图所示
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记Z=min(X,Y)，X,Y分布函数F(·)，概率密度函数f(·)
Z分布函数F(z)=P[Z<z]=1-P[Z>z]=1-P[min(X,Y)>z]=1-P[X>z,Y>z]=1-P(X>z)P(Y>z)
=1-[1-F(z)][1-F(z)]=F(z)+F(z)-F(z)*F(z)
=2*F(z)-[F(z)]^2
Z概率密度函数f(z)=2f(z)-2f(z)*F(z),
EZ=-2∫zf(z)F(z)dz
积分结果EZ=-1/(pi)^(1/2)
Z分布函数F(z)=P[Z<z]=1-P[Z>z]=1-P[min(X,Y)>z]=1-P[X>z,Y>z]=1-P(X>z)P(Y>z)
=1-[1-F(z)][1-F(z)]=F(z)+F(z)-F(z)*F(z)
=2*F(z)-[F(z)]^2
Z概率密度函数f(z)=2f(z)-2f(z)*F(z),
EZ=-2∫zf(z)F(z)dz
积分结果EZ=-1/(pi)^(1/2)
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