Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为1/2,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆

与x-y+sqrt(6)=0相切。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点P(4,0)的直线l与椭圆相交于A,B两点，E是B关于x轴的对称点。试问：直线AE是否恒过一点？并说明理由。

（解决后有加成！！）

Answer 1

半径r=b=|根号6|/根号(1+1)=根号3
e=c/a=1/2,b/a=根号(1-e^2)=根号3/2, a=2
故椭圆方程是x^2/4+y^2/3=1.

(2)设直线AB斜率为k，方程为 y=k(x-4)
3x^2+4y^2=12
3x^2+4k^2(x^2-8x+16)-12=0
(3+4k^2)x^2-32k^2x+(64k^2-12)=0
xA=(16k^2+6√(1-4k^2))/(3+4k^2) ,yA=(-12k+6k√(1-4k^2))/(3+4k^2)
xB=(16k^2-6√(1-4k^2))/(3+4k^2) ,yB=(-12k-6k√(1-4k^2))/(3+4k^2)
xB=xE, yB=-yE
xB=(16k^2-6√(1-4k^2))/(3+4k^2) yE=(12k+6k√(1-4k^2))/(3+4k^2)
kEA=-2k/√(1-4k^2))
直线AE方程
y-yA=kAE*(x-xA) 令y=0
x=xA-(yA/kAE)=(4k^2+3)/(4k^2+3)=1
定点坐标(1,0)

Answer 2

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