Question

估计积分值∫（0,-2）xe^xdx.-2上限，0下限。求教……实在做不来了

Answer 1

您好。关于这一道题，想和您说一下我的看法。
相信您也清楚，这个定积分很容易直接求出来。看到这个定积分，我们知道它是好求的，既然是好求的，直接求出来就是正常的思路。
现在问题是，题目要求你估计。这与我们正常的思路是不一样的。题目要求我们从一个不同的角度来看问题。我们应不应该按照题目说的去做呢？诚然，有的时候我们确实需要从新的角度来看待问题，但是那通常是为了脱离陈旧思路的束缚，获得更简洁、美观、新颖的奇思妙想。如果只是从一个不同于正常思路的角度看问题，这个角度本身却无聊透顶，那么这种换角度思考就没有什么意义了。
这个定积分，我们很容易求出它的值来，而且过程很简洁。假如按照题目的要求来做，我们的“估计”过程会不会让人眼前一亮呢？我看来看去，没看出什么让人眼前一亮的方法。既然如此，题目要求我们估计，这种估计是没有意义的，它违背了我们看到这个问题的正常思路，但又不是另辟蹊径的高妙的违背。这个题目提出这样的要求是不合理的，我们也不该照着题目的要求去做。

但是，命题者提出这样的问题，是可以理解的。假设出题人给的标准答案是区间(a,b). 出题人出题的过程中，a，b两个数的出现，早于这道题里这个定积分式子的最终定稿。出题人想到这个估值的时候，他还不确定这个题目的定积分要出成这么一个式子给学生做。他之所以想到要求估计，是因为他当时还没有看到这道题的全貌。等他这道题目出好了，如果他再回过头来看一眼这个题目，他可能第一感也是这可以直接求出来，而不该要求人估计。

打个简单的比方。一个小学数学出卷人，出一道乘法题。他脑子里开始构思，天马行空。第一步，他脑子里浮现出一个25。第二步，他脑子里想到25在20和30之间。第三步，他脑子里想到一个32.第四步，他脑子里想到32在30和40之间。第五步，他脑子里想到，既然这两个数在这么两个区间里，那么完全可以让学生估计一下两数的积在什么范围内。第六步，他出了这么一道题，估计25x32的值，给一个范围，出题人给的标准答案是，下限是20x30=600，上限是30x40=1200。第七步，应该复查一下自己出的题合理不合理，可惜他忘了。

小学生们很多学过简便运算，知道把32拆成4x8，于是出题人成了笑柄，明明可以直接求解的题还让人估计。
这里，出题人是先想到了25和32所在的区间，并想到了要对学生提出“估计”的要求，而后才看到自己出的题目的全貌，就是32x25.如果他先看到32和25中间坐着一个乘号，就出不出这么可笑的题目。

我们身为做题的人，应该坚持正常的思路，看到32x25就简便运算，得出800.如果我们去迎合出题人的思路，我们的思维就变得不正常了。

所以，您不必为这个问题烦恼。像这一类问题，该怎么思考就怎么思考。一味的要求自己写出老师给的标准答案，一味迎合命题者的思路，只会让自己的思维变得不正常。坚持正常的想法，丢失的只是一两分无关紧要的分数而已。

Answer 2

解：
分部积分
∫（0→-2）xe^(-x)dx
=-xe^(-x)|（0→-2）+∫（0→-2）e^(-x)dx
=2e²-∫（0→-2）e^(-x)d(-x)
=2e²-e^(-x)|（0→-2）
=2e²-[e²-1]
=e²+1

追问

这是直接分布积分求出来了……问题是脑残题目说要估计……答案是[-2/e^2,2/e]完全不懂怎么来的

追答

解：
分部积分
∫（0→-2）xe^xdx
=xe^x|（0→-2）-∫（0→-2）e^xdx
=-2e^(-2)-∫（0→-2）e^xdx
=-2e^(-2)-e^x|（0→-2）
=-2e^(-2)-[e^(-2)-1]
=-3e^(-2)+1