Question

已知a+b=1,求(a+1/a)^2+(b+1/b)^2的最大值

Answer 1

已知a+b=1,
a+b=1 >= 2ab (当a = b= 1/2 时取等号，此时 ab 最大值为1/4)
（a+1/a)^2+(b+1/b)^2
=a^2 + 1/a^2 + b^2 + 1/ b^2 + 4
=a^2 + b^2 +（ a^2 + b^2）/a^2 b^2 + 4
=[a^2 + b^2] * [1+ 1/(ab)^2] + 4
=[1-2ab][1+1/ab)^2] +4
>= [1-2*0.25][1+16] + 4
=0.5*17 + 4
=25/2
最小值是25/2

Answer 2

确实是无穷大，如当a=0.001,b=0.999
上式的值已经超过楼主所说的答案了……

追问

不好意思，打错了，是最小值

追答

利用：a^2+b^2>=0.5*(a+b)^2（证明方法：作差后证明≥0即可，这个不等式，书后习题给了）
代入即可：
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
≥0.5*(a+1/a+b+1/b)^2=0.5*(1+1/ab)^2

由基本不等式得：√ab≤(a+b)/2，得到ab≤1/4,所以1/ab≥4
原式≥0.5*(1+4)^2=25/2

两个不等号取等号时的条件是一样的,都是a=b＝1/2，因此等号成立.
最小值为25/2

Answer 3

无穷大

追问

答案是25/2，我要过程，这无穷大怎么搞得