Question

如图1，已知直线y=2x+2与y轴，x轴分别交于a，b两点，以b为直角顶点在第二象限作等腰直角三角形abc，

（1）求点c的坐标，并求出直线ac的关系式。
（2）如图2，直线cb交y轴于e，在直线cb上取一点d，连接ad，若ad=ac，求证be=de
（3）如图3，在1的条件下，直线ac交x轴于m，p（-5/2，k）是线段bc上一点，在线段bm上是否存在一点n，使直线pn平分△bcm的面积，若存在，求点n坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

1
先利用AB直线方程求出AB点坐标，A（0，2），B（-1，0）
过C作X轴垂线，交X轴于C1，则三角形AOB全等于三角形BC1C {AB=BC，且对应角均相等}
所以BC1=AO=2，CC1=1，所以C点坐标是（-3，1）
设AC方程为Y=AX+2 把C（-3，1）代入方程得A=1/3，所以AC方程是Y=（1/3）X+2

2
设BC方程是Y=KX+M，把B（-1，0），C（-3，1）代入可求得方程为Y=-（1/2）X- 1/2
于是可求得E点坐标为（0，-1/2），继而求得BE长=根号下（1^2 +(1/2)^2)=（根号5）/2

由于AC=AD，AB垂直CD，所以BD=BC=AB=根号下（AB^2)=根号下(1^2+2^2)=根号5
所以ED=AD-BE=根号5 - （根号角）/2 =（根号角5）/2 于是ED=BE

3
P在BC上，P点代入BC方程Y=-（1/2）X- 1/2 得K=3/4
再利用AC直线方程Y=（1/3）X+2求M点坐标为（-6，0），所以MB长为MO-BO=6-1=5
又C点纵坐标为了1，所以三角形BCM面积 S1=MB*1/2=5*1/2=5/2
设BM上点N的坐标为N（J，0）其中J在-6到-1之间。
则当PN平分三角形CMB时，三角形BPN面积S2=三角形BMC面积/2=（5/2）/2=5/4
即 S2=（NB*3/4）/2 =5/4 解得NB长为10/3 所以N横坐标为 -1-10/3=-13/3 >-6
可见N在MB上，所求坐标为（-13/3，0）

Answer 2

解答：解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，
∴∠OAB=∠QBC，
又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，
∴△ABO≌△BCQ，
∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，
∴C（-3，1），
由A（0，2），C（-3，1）可知，直线AC：y=

1
3
x+2；

（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，
∵AC=AD，AB⊥CB，
∴BC=BD，
∴△BCH≌△BDF，
∴BF=BH=2，
∴OF=OB=1，
∴DG=OB，
∴△BOE≌△DGE，
∴BE=DE；

（3）如图3，直线BC：y=-

1
2
x-

1
2
，P（-

5
2
，k）是线段BC上一点，∴P（-

5
2
，

3
4
），由y=

1
3
x+2知M（-6，0），∴BM=5，则S△BCM=

5
2
．

假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，
则

1
2
BN•

3
4
=

1
2
×

5
2
，∴BN=

10
3
，ON=

13
3
，

∵BN＜BM，
∴点N在线段BM上，
∴N（-

13
3 ，0）．