设点P在曲线y=(1/2)e^x ，点Q在曲线y=ln( 2x ) 上 。求|PQ|最 小 值 为
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将y=(1/2)e^x 进行变形
得2y=e^x
有x=ln(2y)
可知 y=(1/2)e^x 与 y=ln(2x) 互为反函数，图像关于直线 y=x 对称
故当P、Q 关于直线 y=x 对称时 |PQ| 才可能取到最小值
由对称性，原命题转化为求 曲线y=(1/2)e^x 上的点 到直线 y=x 的最小距离
以下有两种方法
① 设点P (x，(1/2)e^x)，带入点到直线距离公式求最值（略繁琐）
② 利用几何意义：当曲线在点P处的切线与直线 y=x 平行时 有最小距离
对曲线求导有 y'=(1/2)e^x
故 (1/2)e^x =1 解得x=ln2 此时点P（ln2，1）
带入点到直线距离公式 可知点P到直线y=x 距离为（1-ln2）/√2
故所求为上述值的2倍 即|PQ|最小值为 √2（1-ln2）
得2y=e^x
有x=ln(2y)
可知 y=(1/2)e^x 与 y=ln(2x) 互为反函数，图像关于直线 y=x 对称
故当P、Q 关于直线 y=x 对称时 |PQ| 才可能取到最小值
由对称性，原命题转化为求 曲线y=(1/2)e^x 上的点 到直线 y=x 的最小距离
以下有两种方法
① 设点P (x，(1/2)e^x)，带入点到直线距离公式求最值（略繁琐）
② 利用几何意义：当曲线在点P处的切线与直线 y=x 平行时 有最小距离
对曲线求导有 y'=(1/2)e^x
故 (1/2)e^x =1 解得x=ln2 此时点P（ln2，1）
带入点到直线距离公式 可知点P到直线y=x 距离为（1-ln2）/√2
故所求为上述值的2倍 即|PQ|最小值为 √2（1-ln2）
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