Question

已知,如图,在三角形ABC中,角C=90°,D为直角边AC上一个点,BD平分角ABC,AD=2CD。 求证：（1）角A=30°；

（2）点D在线段AB的垂直平分线。

Answer 1

证明：过点D作DE⊥AB于E
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC/2
∵∠C＝90, DE⊥AB
∴DE＝CD （角平分线性质）
∵AD＝2CD
∴AD＝2DE
∴∠A＝30
∴∠ABC＝90-∠A＝60
∴∠ABD＝∠ABC/2＝30
∴∠ABD＝∠A
∴BD＝AD
又∵DE⊥AB
∴AE＝DE
∴DE垂直平分AB
∴点D在线段AB的垂直平分线

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追问

为什么AD＝2DE后∠A＝30

追答

这是特殊直角三角形的特殊边角关系：在直角三角形中，斜边长锐角为30度的角所对的边长的两倍。
如直角三角形ABC，∠C＝90,∠A＝30,则AB＝2BC
另一个特殊三角形是两个锐角为45度的直角三角形。