已知函数f(x)=2x2-ax+1,若存在φ∈(π4,π2),使f(sinφ)=f(cosφ),求实数a的取值范围.
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数学之美团为你解答
根据题意：2sin²φ-asinφ+1=2cos²φ-acosφ+1，即：2(sin²φ-cos²φ)=a(sinφ-cosφ)
即：2(sinφ+cosφ)(sinφ-cosφ)=a(sinφ-cosφ)，因为：φ∈(π/4,π/2)，所以sinφ-cosφ≠0
故：2(sinφ+cosφ)=a，即：a=2sqrt(2)sin(φ+π/4)
由φ∈(π/4,π/2)得：φ+π/4∈(π/2,3π/4)，也就是：sin(φ+π/4)∈(sqrt(2)/2,1)
所以：a=2sqrt(2)sin(φ+π/4)∈(2,2sqrt(2))
根据题意：2sin²φ-asinφ+1=2cos²φ-acosφ+1，即：2(sin²φ-cos²φ)=a(sinφ-cosφ)
即：2(sinφ+cosφ)(sinφ-cosφ)=a(sinφ-cosφ)，因为：φ∈(π/4,π/2)，所以sinφ-cosφ≠0
故：2(sinφ+cosφ)=a，即：a=2sqrt(2)sin(φ+π/4)
由φ∈(π/4,π/2)得：φ+π/4∈(π/2,3π/4)，也就是：sin(φ+π/4)∈(sqrt(2)/2,1)
所以：a=2sqrt(2)sin(φ+π/4)∈(2,2sqrt(2))
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