Question

初三数学题：已知二次方程mx²-(m-2)x+1/4(m-1)=0两个不相等的实根数，恰好是直角三角形两个锐角

已知:二次方程mx²-(m-2)x+1/4(m-1)=0两个不相等的实根数，恰好是直角三角形两个锐角的正弦值。求：这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比。

Answer 1

设两根为X1、X2，
由韦达定理得X1+X2=(m-2)/m，X1*X2=1/4(m-1)/m
由题意得X1²+X2²=1，
即(X1+X2)²-2X1X2=1，
得关于m的方程，
解方程得m1=1，m2=-8，
当m=1时，得方程x²-x=0，解得x1=0，x2=1，不符题意
当m=-8时，得方程-8x²+10x-9/4=0，解符合题意，
X1*X2=9/32
设斜边=1，
则高=9/32，
∴直角三角形的斜边与斜边上的高的比为32/9

Answer 2

直角三角形的斜边与斜边上的高的比等于两个直角三角形锐角的正弦值的乘积的倒数，由于方程的两个不相等的实数根是两个直角三角形的正弦值，而且两个实数根的乘积等于（m-1）/4m，所以倒数是4m/（m-1）。即直角三角形的斜边与斜边上的高的比是4m/（m-1）。

Answer 3

两实根为X1、X2，sinO=X1=b/c=d/a，sinP=X2=a/c=d/b，由以上两式可得，c/d=1/(sinO*sinP)=1/(X1*X2)，由题中二次方程得X1*X2=(m-1)/4m,所以c/d=4m/(m-1)。

Answer 4

x1+x2=-b/a=(m-2)/m
x1x2=c/a=(m-1)/4m
(x1)^2+(x2)^2=1
m1=1,m2=7
m=1时不合题意舍去
m=7时无实数根
无解