Question

设函数f(x)在[0,1]非负连续，f(1)=0，证明存在c属于（0,1），使得f(c)=（积分0到c）f(t)dt

Answer 1

用积分中值定理，不过积分中值定理的使用条件是在闭区间，所以要稍微绕一下

首先是积分中值定理：若函数 f(x) 在 闭区间 [a, b]上连续,，则在积分区间 [a, b]上至少存在一个点 ξ，使下式成立：函数f(x)从a到b的定积分=(b-a)f(ξ)
本题中（b-a）恰好是1，接下来就是怎么去掉0和1这两个点了

f(1)=0，假如这c就是1，那么说明积分值等于0，又由于函数为非负函数，所以积分值必将大于等于零，所以c=1时函数在[0,1]上恒为0，那么随便取不是零不是一的数就可以了

接下来考察不恒为0的函数情况，那么这时c肯定不可能取1了，接下来证明怎么不取0或者除了0之外还可以取其它值：
1）假设f(0)=0，则同f(1)=0情况一样，c不等于0，则c必是(0,1)上一点
2）假设f(0)>0，用反证法：假设除了0以外没有(0,1)上的点满足，则函数在[0,1]上的最大值为f(0)（这里用介值定理证明，假设有比f(0)大的值，设为f(a)，由于f(1)=0，根据介值定理，在（a,1）上必存在一点b使得f(b)=f(0)。)

此函数最大值为f(0)，所以积分值必小于等于f(0)。但由于函数不是恒为常数，积分值不可能等于f(0)，与假设矛盾。所以存在c属于(0,1)，使得f(c)=（积分0到c）f(t)dt

证毕，没用很规范的数学语言，请见谅

Answer 2

运用拉格朗日中值定理来做