设f(x)在[0,1]上连续,且f(1)>1,证明存在ξ属于(0,1),得使f(ξ)=1/ξ? 5
2个回答
展开全部
根据题意,我们要证明存在一个介于0和1之间的数ξ,使得f(ξ) = 1/ξ。
考虑函数g(x) = f(x) - 1/x,我们要证明存在ξ属于(0,1),使得g(ξ) = 0。
由于f(x)在[0,1]上连续,且f(1) > 1,所以g(1) = f(1) - 1/1 = f(1) - 1 > 0。
另一方面,g(x)在[0,1]上连续,那么根据连续函数的性质,g(x)在[0,1]上必然取到最小值。
假设最小值点ξ不属于(0,1),那么必然有ξ=0或ξ=1。
若ξ=0,则g(0) = f(0) - 1/0不存在,与题意矛盾。
若ξ=1,则已经证明过g(1) > 0,与最小值性质矛盾。
所以,不存在ξ=0或ξ=1,也就是说存在ξ属于(0,1),使得g(ξ) = f(ξ) - 1/ξ = 0。
因此,存在ξ属于(0,1),使得f(ξ) = 1/ξ成立。
考虑函数g(x) = f(x) - 1/x,我们要证明存在ξ属于(0,1),使得g(ξ) = 0。
由于f(x)在[0,1]上连续,且f(1) > 1,所以g(1) = f(1) - 1/1 = f(1) - 1 > 0。
另一方面,g(x)在[0,1]上连续,那么根据连续函数的性质,g(x)在[0,1]上必然取到最小值。
假设最小值点ξ不属于(0,1),那么必然有ξ=0或ξ=1。
若ξ=0,则g(0) = f(0) - 1/0不存在,与题意矛盾。
若ξ=1,则已经证明过g(1) > 0,与最小值性质矛盾。
所以,不存在ξ=0或ξ=1,也就是说存在ξ属于(0,1),使得g(ξ) = f(ξ) - 1/ξ = 0。
因此,存在ξ属于(0,1),使得f(ξ) = 1/ξ成立。
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询