设f(x)在[0,1]上连续,且f(1)>1,证明存在ξ属于(0,1),得使f(ξ)=1/ξ? 5

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仟钇嘉
2023-07-19 · 超过109用户采纳过TA的回答
知道小有建树答主
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根据题意,我们要证明存在一个介于0和1之间的数ξ,使得f(ξ) = 1/ξ。
考虑函数g(x) = f(x) - 1/x,我们要证明存在ξ属于(0,1),使得g(ξ) = 0。
由于f(x)在[0,1]上连续,且f(1) > 1,所以g(1) = f(1) - 1/1 = f(1) - 1 > 0。
另一方面,g(x)在[0,1]上连续,那么根据连续函数的性质,g(x)在[0,1]上必然取到最小值。
假设最小值点ξ不属于(0,1),那么必然有ξ=0或ξ=1。
若ξ=0,则g(0) = f(0) - 1/0不存在,与题意矛盾。
若ξ=1,则已经证明过g(1) > 0,与最小值性质矛盾。
所以,不存在ξ=0或ξ=1,也就是说存在ξ属于(0,1),使得g(ξ) = f(ξ) - 1/ξ = 0。
因此,存在ξ属于(0,1),使得f(ξ) = 1/ξ成立。
可靠的456A
2023-03-03 · TA获得超过179个赞
知道答主
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