Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1中

（1）与AC平行且仅过正方体的三个顶点的截面有几个？
（2）若AB=a,则截得的三棱锥的体积是多少？
本题问题（1）答案是2，问题（2）答案是1/6*a的3次方。麻烦老师给予细节，最好能配合图形。谢谢。

Answer 1

1、与AC平行且仅过3个顶点的截面分别是面ACD´和A´B´C，因为这两个平面本身就相互平行（既可以通过他们都拥有相交的2条互相平行的直线证明，也可以用他们都垂直于相同的线段B´D来证明），而且AC就处于平面ACD´上，所以肯定这两个平面都平行于AC
2、由于线段B´D在面ABCD、CC´D´D、ADD´A´上的投影都分别与线段AC、CD´、AD´垂直，所以可以证明线段B´D垂直于面ABCD，所以接下来只要求出B´D被面ACD´所截在四棱锥DACD´中的长度，就可以用四棱锥体积公式求得它的体积。
求这段线段（四棱锥的高）的长度就比较麻烦了：
设B´D与面ACD´的交点为O，B´D在面ABCD上的投影为BD而它与AC的交点为E
因为三角形ACD´为正三角形（3边相等，很容易证），所以既然之前已经知道B´D与其所在的面垂直，所以可证O为三角形ACD´的4心合一（中心、重心、平分线心、中垂线心）
因为AB=a，可得AC=a×根号2，EC=1/2×a×根号2，
连接D´E后可知其必然会穿过点O（4心合一），连接CO，D´C=AC=a×根号2
由于EC和D´C均为已知，根据勾股定理可求得D´E=1/2×a×根号6
由于O点为三角形ACD´的4心合一，所以CO为角ACD´的平分线
由于角ACD´=60°，所以角OCE=30°
所以OE=1/2×CO，而CO=D´O，且D´O+EO=D´E，可以求得：OE=1/3×D´E=1/6×a×根号6
因为DO垂直于面ACD´，所以DO垂直于OE，既三角形DOE为直角三角形，
根据勾股定理求出DO=1/3×a×根号3，到这里我们终于求出了四棱锥的高。
四棱锥的底（三角形ACD´）面积：D´E×AC×1/2=16×a²×根号3
四棱锥体积（DACD´）：S×h×1/3=a的立方×1/6

Answer 2

几何题目，你先上原图啊！

Answer 3

• 是