Question

在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-1/3

（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
II）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）
则1/2PA*PBsinAPB=1/2PM*PNsinMPN
画图发现APB 和 MPN 互补
sinAPB=sinMPN
PA/PM=PN/PB 【A】
(x0+1)/(3-x0)=(3-x0)/(x0-1) 【B】
即（3-x0）2=|x02-1|，解得x0=5/3
x0^2+3y0^2=4
y0=正负根号33/9
存在P（5/3，正负根号33/9）

是怎么由A到B的？不是很清楚

Answer 1

这可以根据相似三角形的有关知识得到，你只需过点M做直线平行于x轴，再过点A，P分别坐这条直线的垂线交所作直线于D，E，三角形MAD相似于三角形MPE，所以AP/PB就等于DE/EM，即（x0＋1）/（3－x0），等式右边同理。

Answer 2

（I）因为点B与A（-1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，-1）．
设点P的坐标为（x，y）
y-1/x+1 * y+1/x-1 =1/3
化简得x2+3y2=4（x≠±1）．
（II）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）
则1/2PA*PBsinAPB=1/2PM*PNsinMPN
画图发现APB 和 MPN 互补
sinAPB=sinMPN
PA/PM=PN/PB
(x0+1)/(3-x0)=(3-x0)/(x0-1)
即（3-x0）2=|x02-1|，解得x0=5/3
x0^2+3y0^2=4
y0=正负根号33/9
存在P（5/3，正负根号33/9）