Question

已知函数f（x）=x3+（1-a） x2-a（a+2）x+b（a，b∈R）． （I）若函数f（x）的

已知函数f（x）=x3+（1-a） x2-a（a+2）x+b（a，b∈R）．
（I）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（-1，1）上不只有一个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

I)过原点，即(0,0）在曲线上，代入方程得：f(0)=b=0
f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)
由题意：f'(0)=-a(a+2)=-3, 即a^2+2a-3=0, （a+3)(a-1)=0, 得：a=-3, 1
故有b=0, a=-3或1

II)由题意，f'(x)=0在(-1, 1)上不只有一个根，因为f'(x)=0为二次方程，所以有2个根。
因此有delta=4(1-a)^2+12a(a+2)=4(2a+1)^2>0
因此有a≠-1/2

Answer 2

原函数f(x)=x^3+(1-a)x^2-a(a+2)x+b（1）

f(0)=0，得b=0
导数 f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)， 即 f'(0)=-a(a+2)=-3，得 a=1或a= -3
(2) f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)=(x-a)[3x+(a+2)]
即x1=a或-(a+2)/3
① 当 a=-1/2时， f'(x)>=0恒成立，即 f(x)=x^3+(1-a)x^2-a(a+2)x+b 在（负无穷，正无穷）单调递增；
② 当 a<-1/2时， a< -(a+2)/3， -1<a<1 或 -1<(a+2)/3<1，得 -5<a<-1/2；
③ 当 a>-1/2时， a> -(a+2)/3， -1<a<1 或 -1<(a+2)/3<1，得 -1/2<a<1；
综上可得 ： a的取值范围是｛-5<a<-1/2｝∪｛-1/2<a<1｝