Question

高等代数关于欧氏空间恒等变换求解

Answer 1

先证明必要性。

因为A有n个互异的特征值，所以A可以对角化。
具体的说可以在V中找到一组基，使得A在这组基下的矩阵为对角阵。
下面我们完全在这组基下讨论问题。
令A=diag{a1,a2,...,an}，其中ai两两不同。对于矩阵B=(bij)，计算AB-BA=((ai-aj)bij)
由于A，B可交换，即上式为0.而ai两两不同，所以当i与j不等时，有bij=0.
由此知道B也为对角阵。
显然所有对角阵构成一个n维线性空间，容易证明E,A,...,A^(n-1)构成这个线性空间的一组基（因为ai两两不同，所以范德蒙行列式非0）。所以B可以写成如上形式。
再证明充分性。

反之，若B可以写成如上形式，显然B与A可交换。
所以这是一个充要条件。
不懂可以再问~