Question

如图，在三角形ABC中，角A=90度，AB=4，AC=3，M是边AB上的一个动点（M不与A、B），MN//BC交AC于点N，

如图，在三角形ABC中，角A=90度，AB=4，AC=3，M是边AB上的一个动点（M不与A、B），MN//BC交AC于点N，三角形AMN关于MN的对称图形是三角形PMN，设AM=x。
问：在动点M的运动过程中，记三角形PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y，求x为何值时，y的值最大，是多少？

Answer 1

分两个
1. 一个是0<X<=2是
他的面积就是AMN的面积
AM=X
AN=(X/4)*3
所以 2Y=X(X/4)*3
2.当2<X<4的 MPN交BC点为 M`N`
那么Y的面积就是MM`NN`的面积
AMN面积 (X(X/4)*3)/2 然后PM`N`的面积是 （（2x-4）*（2x-4）/4x3）2
然后你减一下整理一下吧 要下班了 有不明白的追问吧

Answer 2

原题：如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3．M是边AB上的动点（M不与A，B重合），MN∥BC交AC于点N，△AMN关于MN的对称图形是△PMN．设AM=x．
（1）用含x的式子表示△AMN的面积（不必写出过程）；
（2）当x为何值时，点P恰好落在边BC上；
（3）在动点M的运动过程中，记△PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式；并求x为何值时，重叠部分的面积最大，最大面积是多少？
分析：
（1）因为MN∥BC，所以△AMN∽△ABC，所以根据相似三角形的性质即可求得MN的值与MN边上的高的值，即可求得面积；
（2）根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=1/2AB=2时，点P恰好落在边BC上；
（3）分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，易见y=3/8x²
②当2＜x＜4时，如图3，设PM，PN分别交BC于E，F
由（2）知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4
由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．
解答：
解：
（1）S△AMN=3/8x²；
（2）如图2，由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，
又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，
∴∠B=∠BPM∴AM=PM=BM
∴点M是AB中点，即当x=1/2AB=2时，点P恰好落在边BC上．
（3）（i）以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤2时，易见y=3/8x²
②当2＜x＜4时，如图3，设PM，PN分别交BC于E，F
由（2）知ME=MB=4-x，
∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4
由题意知△PEF∽△ABC，
∴（PE/AB)²=S△PEF/S△ABC，
∴S△PEF=3/2(x-2)²
∴y=S△PMN-S△PEF=3/8x²-3/2(x-2)²=-9/8x²+6x-6
∴y=3/8x²(0＜x≤2)
=-9/8x²+6x-6(2＜x＜4)
（ii）∵当0＜x≤2时，y=3/8x²
∴易知y最大=3/8×2²=3/2
又∵当2＜x＜4时，y=-9/8x²+6x-6=-9/8（x-8/3）²+2．
∴当x=8/3时（符合2＜x＜4），y最大=2，
综上所述，当x=8/3时，重叠部分的面积最大，其值为2．
此题考查了折叠问题，要注意对应的线段对应的角相等，此题还考查了相似三角形的性质，解题的关键是数形结合思想的应用．
有疑问可以追问哦。。