Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长AB=a

求
点D1到直线AC的距离
直线A1D到平面BCC1B1的距离
异面直线D1B与AC所称的角大小

Answer 1

解答：

（1）连接AC，BD，设交点为O

则AC⊥BD

又∵是正方体，∴ DD1⊥平面ABCD

∴ AC⊥DD1

∴ AC⊥平面BDD1B1

∵ D1O在平面BDD1B1内

∴ D1O⊥AC

在直角三角形D1DO中

D1O²=DD1²+DO²=a²+(√2a/2)²=3a²/2

∴ D1O=√6a/2

（2）直线A1D到平面BCC1B1的距离

即A1到平面BCC1B1的距离

∵ A1B1⊥平面BCC1B1

∴ A1到平面BCC1B1的距离是A1B，等于a

（3）由（1）中的过程

AC⊥平面BDD1B1

∵ D1B在平面BDD1B1内

∴ AC⊥D1B

∴ 异面直线D1B与AC所成的角大小是90°

Answer 2

1、连结AD1、AC、CD1，取AC的中点O，连结D1O，
则AD1=AC=CD1=√2a,
∴△D1AC是正△，
∵OD1是正△D1AC底边AC上的中线，
∴D1O⊥AC，（三线合一），
∴OD1就是D1至AC的距离，
∴D1O=√3AC/2= √6a/2.
2、连结B1C，
∵A1D//B1C，
B1C∈平面BCC1B1，
∴A1D//平面BCC1B1，
∵A1B1⊥平面BCC1B1，
∴A1B1就是直线A1D和平面BCC1B1之间的距离，A1B1=a.
3、由前所述，AC⊥D1O，AC⊥BD，
∵BD∩OD1=O，
∴AC⊥平面BB1D1D，
∵BD1∈平面BB1D1D，
∴AC⊥BD1，
∴异面直线D1B与AC所成的角为90度。