Question

AC=BC,∠ACB=90°，∠DCE=45°。如图，当D不与A重合时，求证DE²=AD²+BE²

Answer 1

证明：过点A作AF⊥AB，取AF＝BE，连接DF （注：F与C在AB的同一侧）
∵∠ACB＝90，AC＝BC
∴∠BAC＝∠B＝45
∵AF⊥AB
∴∠FAB＝90
∴DF²=AD²+AF²，∠CAF＝∠FAB-∠BAC＝45
∴∠CAF＝∠B
∵AF＝BE，AC＝BC
∴△ACF≌△BCE （SAS）
∴∠ACF＝∠BCE，CF＝CE
∵∠DCE＝45
∴∠ACD+∠BCE＝∠ACB-∠DCE＝45
∴∠DCF＝∠ACD+∠ACF＝∠ACD+∠BCE＝45
∴∠DCF＝∠DCE
∵CD＝CD
∴△DCE≌△DCF （SAS）
∴DE＝DF
∴DE²=AD²+BE²

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Answer 2

证明：过C点向△ABC外作角ACF，使∠ACF=∠BCE，并截取CF=CE，连接AF，如图。

则：△ACF≌△BCE

所以：AF=BE，∠FAC=∠B

由于：∠DCE=45°，∠ACB=90°

所以：∠ACD+∠BCE=90°

由于：∠ACF=∠BCE

所以：∠FCD=45°=∠ECD

所以：△DCF≌△DCE

所以：DE=DF

而：∠B=∠FAC，∠B+∠CAD=90°

所以：∠FAC+∠CAD=90°

所以：由勾股定理得DF²=AF²+AD²

即：DE²=AD²+BE²

Answer 3

证明：过点A作AF⊥AB，使AF=BE，连接DF，CF，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠FAC=45°，
∴△CAF≌△CBE，
∴CF=CE，
∠ACF=∠BCE，
∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，
∴∠ACD+∠BCE=∠ACB﹣∠DCE=90°﹣45°=45°，
∵∠ACF=∠BCE，
∴∠ACD+∠ACF=45°，
即∠DCF=45°，
∴∠DCF=∠DCE，
又CD=CD，
∴△CDF≌△CDE，
∴DF=DE，
∵AD2+AF2=DF2，
∴AD2+BE2=DE2；